WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |

Ограничимся здесь простой линейной регрессией, так что В зависимости от количества наблюдений, получаем следующие критические значения :

n R2crit 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Иначе говоря, при большом количестве наблюдений даже весьма малые отклонения наблюдаемого значения от нуля оказываются достаточными для того, чтобы признать значимость регрессии, т. е. статистическую значимость коэффициента при содержательной объясняющей переменной.

Поскольку же значение равно при квадрату выборочного коэффициента корреляции между объясняемой и (нетривиальной) объясняющей переменными, то аналогичный вывод справедлив и в отношении величины этого коэффициента корреляции, только получаемые результаты еще более впечатляющи:

n |rxy|crit 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Если сравнивать модели по величине коэффициента детерминации R2, то с этой точки зрения полная модель всегда лучше (точнее, не хуже) редуцированной — значение R2 в полной модели всегда не меньше, чем в редуцированной, просто потому, что в полной модели остаточная сумма квадратов не может быть больше, чем в редуцированной.

Действительно, в полной модели с объясняющими переменными минимизируется сумма по всем возможным значениям коэффициентов. Если мы рассмотрим редуцированную модель, например, без ой объясняющей переменной, то в этом случае минимизируется сумма по всем возможным значениям коэффициентов, что равносильно минимизации первой суммы по всем возможным значениям при фиксированном значении. Но получаемый при этом минимум не может быть больше чем минимум, получаемый при минимизации первой суммы по всем возможным значениям, включая и все возможные значения.

Последнее означает, что в полной модели не может быть меньше, чем в редуцированной модели. Поскольку же полная сумма квадратов в обеих моделях одна и та же, отсюда и вытекает заявленное выше свойство коэффициента.

Чтобы сделать процедуру выбора модели с использованием более приемлемой, было предложено использовать вместо его скорректированный (adjusted) вариант в который посуществу вводится штраф за увеличение количества объясняющих переменных. При этом, так что при и.

При использовании коэффициента для выбора между конкурирующими моделями, лучшей признается та, для которой этот коэффициент принимает максимальное значение.

Замечание. Если при сравнении полной и редуцированных моделей оценивание каждой из альтернативных моделей производится с использованием одного и того же количества наблюдений, то тогда, как следует из формулы, определяющей, сравнение моделей по величине равносильно сравнению этих моделей по величине или по величине. Только в последних двух случаях выбирается модель с миниимальным значением (или ).

Пример. Продолжая последний пример, находим значения коэффициента при подборе моделей,,:

для — для — для — Таким образом, выбирая модель по максимуму, мы выберем из этих трех моделей именно модель, к которой мы уже пришли до этого, пользуясь и критериями.

В этом конкретном случае сравнение всех трех моделей по величине не равносильно сравнению их по величине (или ), если модели, оцениваются по всем наблюдениям, представленным в таблице данных, тогда как модель оценивается только понаблюдениям (одно наблюдение теряется изза отсутствия в таблице запаздывающего значения, соответствующего году).

Наряду со скорректированным коэффициентом детерминации, для выбора между несколькими альтернативными моделями часто используют так называемые информационные критерии: критерий Акаике и критерий Шварца, также «штрафующие» за увеличение количества объясняющих переменных в модели, но несколько отличными способами.

Критерий Акаике (Akaike’s information criterion — AIC). При использовании этого критерия, линейной модели с объясняющими переменными, оцененной по наблюдениям, сопоставляется значение где остаточная сумма квадратов, полученная при оценивании коэффициентов модели методом наименьших квадратов. При увеличении количества объясняющих переменных первое слагаемое в правой части уменьшается, а второе увеличивается.

Среди нескольких альтернативных моделей (полной и редуцированных) предпочтение отдается модели с наименьшим значением, в которой достигается определенный компромисс между величиной остаточной суммы квадратов и количеством объясняющих переменных.



Критерий Шварца (Schwarz’s information criterion — SC, SIC). При использовании этого критерия, линейной модели с объясняющими переменными, оцененной по наблюдениям, сопоставляется значение И здесь при увеличении количества объясняющих переменных первое слагаемое в правой части уменьшается, а второе увеличивается. Среди нескольких альтернативных моделей (полной и редуцированных) предпочтение отдается модели с наименьшим значением.

Пример. В последнем примере получаем для полной модели и редуцированных моделей и следующие значения и.

AIC SC M 8. 8. M 8. 8. M 8. 8. Предпочтительной по обоим критериям оказывается опять модель.

Замечание. В рассмотренном примере все три критерия, и выбирают одну и ту же модель. В общем случае подобное совпадение результатов выбора вовсе не обязательно.

Включение в модель большого количества объясняющих переменных часто приводит к ситуации, которую называют мультиколлинеарностью.

Мы обещали ранее коснуться проблемы мультиколлинеарности и сейчас выполним это обещание. Прежде всего напомним наше предположение (4) матрица XTX невырождена, т. е. ее определитель отличен от нуля:

которое можно заменить условием (4’) столбцы матрицы X линейно независимы.

Полная мультиколлинеарность соответствует случаю, когда предположение (4) нарушается, т. е. когда столбцы матрицы линейно зависимы, например, (й столбец является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы ). При наличии чистой мультиколлинеарности система нормальных уравнений не имеет единственного решения, так что оценка наименьших квадратов для вектора параметров (коэффициентов) попросту не определена однозначным образом.

На практике, указывая на наличие мультиколлинеарности, имеют в виду осложнения со статистическими выводами в ситуациях, когда формально условие (4) выполняется, но при этом определитель матрицы XTX близок к нулю. Указанием на то, что я объясняющая переменная «почти является» линейной комбинацией остальных объясняющих переменных, служит большое значение коэффициента возрастания дисперсии оценки коэффициента при этой переменной вследствие наличия такой «почти линейной» зависимости между этой и остальными объясняющими переменными. Здесь коэффициент детерминации при оценивании методом наименьших квадратов модели Если, то, и это соответствует некоррелированности ой переменной с остальными переменными. Если же, то тогда, и чем больше корреляция ой переменной с остальными переменными, тем в большей мере возрастает дисперсия оценки коэффициента при ой переменной по сравнению с минимально возможной величиной этой оценки.

Мы можем аналогично определить коэффициент возрастания дисперсии оценки коэффициента при ой объясняющей переменной для каждого :

Здесь — коэффициент детерминации при оценивании методом наименьших квадратов модели линейной регрессии ой объясняющей переменной на остальные объясняющие переменные. Слишком большие значения коэффицентов возрастания дисперсии указывают на то, что статистические выводы для соответствующих объясняющих переменных могут быть весьма неопределенными: доверительные интервалы для коэффициентов могут быть слишком широкими и включать в себя как положительные, так и отрицательные значения, что ведет в конечном счете к признанию коэффициентов при этих переменных статистически незначимыми при использовании критериев.

Пример. Обращаясь опять к данным об импорте товаров и услуг во Францию, находим:

Коэффициенты возрастания дисперсии для переменных и совпадают вследствие совпадения коэффициентов детерминации регрессии переменной на переменные и и регресии переменной на переменные и (взаимно обратные регрессии).

Полученные значения коэффициентов возрастания дисперсий отражают очень сильную коррелированность переменных и. (Выборочный коэффициент корреляции между этими переменными равен.) При наличии мультиколлинеарности может оказаться невозможным правильное разделение влияния отдельных объясняющих переменных. Удаление одной из переменных может привести к хорошо оцениваемой модели. Однако оставшиеся переменные примут на себя дополнительную нагрузку, так что коэффициент при каждой из этих переменных измеряет уже не собственно влияние этой переменной на объясняемую переменную, а учитывает также и часть влияния исключенных переменных, коррелированных с данной переменной.





Пример. Продолжая последний пример, рассмотрим редуцированные модели, получамые исключением из числа объясняющих переменных переменной или переменной.

Оценивание этих моделей приводит к следующим результатам:

c и для коэффициента при ;

c и для коэффициента при.

В каждой из этих двух моделей коэффициенты при и имеют очень высокую статистическую значимость. В первой модели изменчивость переменной объясняет изменчивости переменной ; во второй модели изменчивость переменной объясняет изменчивости переменной. С этой точки зрения, переменные и вполне заменяют друг друга, так что дополнение каждой из редуцированных моделей недостающей объясняющей переменной практически ничего не добавляя к объяснению изменчивости (в полной модели объясняется изменчивости переменной ), в то же время приводит к неопределенности в оценивании коэффициентов при и.

Но коэффициент при в полной модели соответствует связи между переменными и, очищенными от влияния переменной, тогда как коэффициент при в полной модели соответствует связи между переменными и, очищенными от влияния переменной.

Поэтому неопределенность в оценивании коэффициентов при и в полной модели посуществу означает невозможность разделения эффектов влияния переменных и на переменную.

Приведем значения, и для всех трех моделей.

Полная 0. 1. 3. 3. Без 0. 1. 3. 3. Без 0. 1. 3. 3. Все четыре критерия выбирают в качестве наилучшей модель с исключенной переменной.

Мы не будем далее углубляться в проблему мультиколлинеарности, обсуждать другие ее последствия и возможные способы преодоления затруднений, связанных с мультиколлинеарностью. Заинтересованный читатель может обратиться по этому вопросу к более полным руководствам по эконометрике.

2.10. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ: ОДНОСТОРОННИЕ КРИТЕРИИ Вспомним пример с потреблением текстиля. Мы подобрали линейную модель в логарифмах (с постоянными эластичностями) (здесь — расходы на личное потребление текстиля, — относительная цена текстиля, располагаемый доход). В рамках этой модели представляют интерес гипотезы и о «единичной эластичности» расходов на потребление текстиля как по доходам, так и по ценам.

Построить критерии с уровнем значимости для проверки этих гипотез можно по той же схеме, по которой строятся критерии проверки гипотез, только теперь для проверки гипотезы следует использовать статистику а для проверки гипотезы — статистику Каждая из этих статистик, в случае справедливости соответствующей нулевой гипотезы, имеет распределение. Нулевая гипотеза отвергается, если значение статистики превышает по абсолютной величине значение.

В нашем примере Таким образом, отклонение значения от гипотетического значения статистически значимо — гипотеза отвергается. В то же время, отклонение значения от гипотетического значения не является статистически значимым, и гипотеза не отвергается.

Замечание. Из проведенного рассмотрения видна важность не только абсолютных отклонений оценок от гипотетических значений параметров, но и точностей оценок, измеряемых дисперсиями и оцениваемых величинами. Действительно, абсолютные величины отклонений в рассмотренном примере равны и, соответственно, т. е. отличаются не очень существенно. Однако примерно в 4.3 раза меньше, чем, и именно такое большое отличие и и приводит, в конечном счете, к противоположным решениям в отношении гипотез и.

Итак, на основании построенной процедуры гипотеза отвергается. А что же тогда принимается? Формально, альтернативой для в построенном критерии является гипотеза, поскольку критическое множество содержит в равной степени как большие положительные, так и большие (по абсолютной величине) отрицательные значения статистики. В то же время, значение, соответствующее отклонению, скорее говорит в пользу того, что в действительности.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.