WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |

В этой связи, естественным представляется более определенный выбор альтернативной гипотезы, а именно, сопоставление нулевой гипотезе односторонней альтернативы (односторонняя альтернатива — в отличие от двухсторонней альтернативы ). При такой постановке задачи отвержение нулевой гипотезы в пользу альтернативы производится только при больших положительных отклонениях, т. е. при больших положительных значениях статистики. Если мы отнесем к последним значения, превышающие, то получим статистический критерий, у которого ошибка первого рода (уровень значимости) равна. Его критическое множество определяется соотношением справа стоит теперь значение, а не, как это было при двухсторонней альтернативе. Поскольку у нас, мы отвергаем гипотезу в пользу гипотезы.

Построим аналогичную процедуру для параметра. Именно, построим критерий уровня для проверки гипотезы против односторонней альтернативы. Критическое множество такого критерия должно состоять из значений статистики, превышающих. У нас значение опять меньше порогового, так что гипотеза не отвергается в пользу.

Обратим теперь внимание на то, что при рассмотрении пары конкурирующих гипотез мы выделяем в гипотезу только одно частное значение, хотя посуществу дела проблема состоит скорее в выборе между гипотезами Последняя ситуация коренным образом отличается от предыдущей: оказывается сложной гипотезой, т. е. гипотезой, допускающей более одного значения параметра, в данном случае даже бесконечно много значений параметра. В противоположность этому, в предыдущей ситуации гипотеза была простой.

Какие осложнения возникают при использовании сложной нулевой гипотезы? Возьмем, для примера, частную гипотезу. Мы отвергли бы ее в пользу при В то же время, частную гипотезу мы отвергаем в пользу той же при Иначе говоря, при различных частных гипотезах, входящих в состав сложной нулевой гипотезы, мы получаем различные критические множества, обеспечивающие заданный уровень значимости (ошибку 1го рода). Построение каждого такого множества непосредственно использует конкретное гипотетическое значение, тогда как в рамках гипотезы отдельное гипотетическое значение параметра не конкретизируется.

Возникающее затруднение преодолевается, исходя из следующих соображений. Коль скоро мы не в состоянии построить единое для всех критическое множество, вероятность попадания в которое равна при справедливости каждой отдельной частной гипотезы, следует попытаться построить единое для всех критическое множество, вероятность попадания в которое при выполнении каждой отдельной частной гипотезы была бы не больше. Такая задача реализуется путем использования критического множества, соответствующего граничному значению односторонней гипотезы, в данном случае.

Действительно, пусть мы берем критическое множество соответствующее граничной частной гипотезе, так что Тогда, если в действительности верна частная гипотеза то Вообще, какая бы частная гипотеза ни была верна, вероятность отвергнуть ее в рамках указанной процедуры не превысит.

В этом контексте, попрежнему называется уровнем значимости критерия, тогда как понятие ошибки 1го рода уже теряет смысл для критерия в целом. Уровень значимости ограничивает сверху ошибки 1го рода, соответствующие частным гипотезам, входящим в состав сложной нулевой гипотезы.

Основной вывод из сказанного: при указанном подходе к построению критериев проверки сложных нулевых гипотез вида (эластичность при (неэластичность при (неэластичность при (эластичность при против соответствующих односторонних альтернатив можно пользоваться критериями уровня, построенными для работы с теми же альтернативами, но при простых гипотезах соответственно.

Замечание. То же относится и к другим аналогичным парам гипотез, в которых вместо значения 1 берутся другие фиксированные граничные значения.

2.11. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРОВЕРКОЙ ГИПОТЕЗ О ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Итак, фактически, мы уже построили критерий проверки гипотезы против альтернативы Это тот же критерий с уровнем значимости, который был предназначен для проверки гипотезы против альтернативы Такой критерий отвергает гипотезу при что и имеет место в нашем примере. Соответственно, нулевая гипотеза эластичности потребления текстиля по цене отвергается.



Мы также фактически построили критерий проверки гипотезы против альтернативы Это тот же критерий с уровнем значимости, который был предназначен для проверки гипотезы против альтернативы Такой критерий отвергает гипотезу при что не выполняется в нашем примере. Соответственно, нулевая гипотеза неэластичности потребления текстиля по доходу отвергается.

Представляет, однако, интерес то, какие решения будут приняты, если поменять местами нулевую и альтернативную гипотезы.

В отношении эластичности по цене возьмем теперь пару гипотез При построении соответствующего критерия достаточно обратиться к критерию для пары который отвергает гипотезу при (на левом хвосте распределения ). Но у нас так что гипотеза, а значит, ине отвергаются в пользу Итак, здесь нулевая гипотеза о неэластичности потребления по цене не отвергается, и это решение согласуется с отклонением нулевой гипотезы об эластичности потребления по цене.

Рассмотрим, наконец, пару гипотез Здесь мы исходим из критерия, предназначенного для пары и, с учетом использования знаков равенства в этих парах, отвергаем гипотезу при В нашем случае так что гипотеза не отвергается.

Итак, здесь нулевая гипотеза эластичности потребления по доходу не отвергается.

Но ранее мы установили, что и нулевая гипотеза неэластичности потребления по доходу также не отвергается.

Из рассмотренного примера мы должны сделать важнейший вывод:

Решения об отклонении или неотклонении одной из двух соперничающих гипотез могут быть различными, в зависимости от того, какая из двух гипотез принимается за основную (нулевую).

При решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от его относительной цены оба варианта выбора нулевой гипотезы дали согласованные результаты: основная гипотеза неэластичности не отвергается, а основная гипотеза эластичности отвергается.

Однако при решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от располагаемого дохода не отвергаются ни основная гипотеза эластичности ни основная гипотеза неэластичности. В такой ситуации каждый из исследователей, придерживающихся противоположных априорных позиций относительно эластичности или неэластичности потребления текстиля по доходу, может считать, что имеющиеся статистические данные «подтверждают» именно его гипотезу, хотя правильнее заключить, что имеющиеся статистические данные «не противоречат» его гипотезе в рамках соответствующего статистического критерия.

Мы должны теперь сделать еще одно важнейшее замечание. Пусть Тогда — статистика критерия равна Гипотеза отвергается в пользу, если Но при, и это означает, что если, то гипотеза не может быть отвергнута в пользу.

Следовательно, если мы сначала оценим по имеющимся статистическим данным коэффициент, и только после этого выберем указанную пару гипотез для некоторого значения то в такой ситуации построенный по тем же данным указанный критерий никогда не отвергнет гипотезу в пользу.

Аналогично, если мы, оценив, формулируем пару гипотез для некоторого то тогда соответствующий односторонний критерий, построенный по тем же данным, никогда не отвергнет гипотезу в пользу.

В случае двухстороннего критерия формулирование гипотезы с, где— оцененное значение параметра, приводит к тому, что эта гипотеза заведомо не будет отвергнута (статистика принимает нулевое значение).

Логическая ошибка в последних трех случаях состоит в том, что теория статистических критериев строится в предположении, что гипотезы и фиксируются до обращения к статистической обработке данных.

В последней ситуации априори нельзя абсолютно точно сказать, будет ли значение больше или меньше заранее выбранного гипотетического значения.

Пример. Пусть совокупные расходы на личное потребление в США, совокупный располагаемый доход (1970—1979 г. г., млрд. долларов в ценах 1972 г.).





Подобранная модель Уже зная, что, бессмысленно (или нечестно) ставить задачу проверки гипотезы против альтернативы, поскольку на основании имеющихся наблюдений гипотеза заведомо не будет отвергнута. Она отвергается лишь при больших положительных значениях статистики а у нас числитель последнего отношения принимает отрицательное значение. Другое дело, что сформулировать такую гипотезу еще до анализа статистических данных вполне разумно. Впрочем, последнее вовсе не означает, что будет всегда меньше единицы, даже если истинное.

Проверим теперь гипотезу против односторонней альтернативы в той же ситуации, но на основании данных за период с 1970 по 1981 г., лет.

В этом случае, так что статистика Если мы используем для проверки гипотезы двусторонний критерий с уровнем значимости, то будем отвергать, когда.

Если же использовать односторонний критерий с уровнем значимости, то будем отвергать, когда.

В обоих случаях вероятность ошибочного отклонения гипотезыравна.

Представим теперь, что в действительности. Тогда распределение Стьюдента имеет статистика Какова вероятность того, что гипотеза будет отвергнута? При использовании двустороннего критерия или или или или +.

А при использовании одностороннего критерия эта вероятность будет равна.

Таким образом, вероятность отвергнуть ошибочную гипотезу в случае, когда в действительности, равна — при использовании двухстороннего критерия, — при использовании одностороннего критерия;

две последние величины представляют собой мощности соответствующих критериев при частной альтернативе.

Односторонний критерий имеет более высокую мощность — против у двухстороннего критерия — при той же вероятности ошибочного отклонения нулевой гипотезы, равной. Такое же положение будет, если в действительности и значение входит в множество значений параметра, составляющих альтернативную гипотезу (т. е. ).

Это говорит о предпочтительности одностороннего критерия по сравнению с двухсторонним при использовании в качестве альтернативной гипотезы.

2.12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОЦЕНЕННОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Пусть мы имеем модель наблюдений в виде модели простой линейной регрессии и хотим дать прогноз, каким будет значение объясняемой переменной при некотором выбранном (фиксированном) значении объясняющей переменной, если мы будем продолжать наблюдения.

Мы умеем оценивать коэффициенты и методом наименьших квадратов, и естественно использовать для целей прогнозирования получаемую в результате такого оценивания (подобранную) модель линейной связи что приводит к прогнозируемому значению объясняемой переменной, равному Вопрос только в том, сколь надежным является выбор такого значения в качестве прогнозного. И здесь надо иметь в виду следующее.

Поскольку мы используем для прогноза оценки, полученные, исходя из модели наблюдений то для того, чтобы этот прогноз был осмысленным, нам по необходимости приходится предполагать, что структура модели наблюдений и ее параметры не изменятся при переходе к новому наблюдению, так что соответствующее значение должно описываться тем же линейным соотношением. В таком случае, мы посуществу имеем дело с расширенной линейной моделью с наблюдениями, в которой дополнительное наблюдение удовлетворяет соотношению При этом, случайная величина должна иметь то же распределение, что и случайные величины и должна образовывать вместе с ними множество случайных величин, независимых в совокупности.

Итак, мы договорились, что в расширенной модели Выбирая в качестве прогноза для значение мы тем самым допускаем ошибку прогноза, равную Поскольку вычисленные оценки являются (как мы уже выяснили выше) реализациями случайных величин, наблюдаемая ошибка прогноза также является реализацией случайной величины и включает два источника неопределенности:

неопределенность, связанную с отклонением вычисленных значений случайных величин от истинных значений параметров ;

неопределенность, связанную со случайной ошибкой в м наблюдении.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.