WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

Иными словами, с вероятностью, равной 1a, случайный интервал накрывает истинное значение коэффициента q j, т. е. является 95% доверительным интервалом для q j в случае, когда не известно истинное значение s 2 дисперсии случайных ошибок. В среднем, длина такого интервала больше, чем длина доверительного интервала с тем же уровнем доверия, построенного при известном значении.

Замечание. Выбор конкретного значения определяет компромисс между желанием получить более короткий доверительный интервал и желанием обеспечить более высокий уровень доверия.

Попытка повысить уровень доверия, выраженная в выборе меньшего значения, приводит к квантили с более высоким значением, т. е. к большему значению. Но длина доверительного интервала пропорциональна. Следовательно, увеличение уровня доверия сопровождается увеличением ширины доверительного интервала (при тех же статистических данных).

Так, для можно приближенно считать, что, где — квантиль уровня стандартного нормального распределения. Соответственно, выбирая уровень доверия равным, или, мы получаем длязначения, приблизительно равные. Это означает, что переход от уровня доверия к уровню доверия сопровождается увеличением длины доверительного интервала приблизительно в раза, а дополнительное повышение уровня доверия до увеличивает длину доверительного интервала еще примерно в раза.

Теперь мы в состоянии перейти к построению интервальных оценок параметров моделей линейной регрессии для различного рода социальноэкономических факторов на основании соответствующих статистических данных.

Пример. Вернемся к модели зависимости уровня безработицы среди белого населения США от уровня безработицы среди цветного населения. Запишем линейную модель наблюдений в виде Получаем: =. Коэффициент оценивается величиной дисперсия оценивается величиной. Для построения — доверительного интервала для остается найти квантиль уровня распределения Стьюдента с степенями свободы. Используя, например, Таблицу А.2 из книги Доугерти (стр.368), находим:. Соответственно, получаем доверительный интервал для в виде т. е.

Для имеем, ; доверительный интервал для имеет вид т. е.

В связи с этим примером, отметим два обстоятельства.

(а) Доверительный интервал для коэффициента допускает как положительные, так и отрицательные значения этого коэффициента.

(б) Каждый из двух построенных интервалов имеет уровень доверия ; однако это не означает, что с той же вероятностью сразу оба интервала накрывают истинные значения параметров,.

Справиться с первым затруднением в данном примере можно, понизив уровень доверия до. В этом случае в выражении для доверительного интервала квантиль заменяется на квантиль, так что левая граница доверительного интервала для становится положительной и равной. Однако это достигается ценой того, что новый доверительный интервал будет накрывать истинное значение параметра в среднем только в 90 случаев из 100, а не в 95 из100 случаев.

Что касается второго затруднения, то наиболее простой путь взятия под контроль вероятности одновременного накрытия доверительными интервалами для, истинных значений этих параметров связан с тем, что оба интервала накрывают и, соответственно= хотя бы один из них не накрывает соответствующее = доверительный интервал для не накрывает+ доверительный интервал для не накрывает оба интервала не накрывают свои = оба интервала не накрывают свои і Следовательно, если построить доверительный интервал для и доверительный интервал для с уровнями доверия каждого, равными, то тогда правая часть полученной цепочки соотношений будет равна Это означает, что в нашем примере мы можем гарантировать, что вероятность одновременного накрытия истинных значений, соответствующими доверительными интервалами будет не менее, если возьмем. Но тогда при построении этих интервалов придется использовать вместо значения значение, так что каждый из исходных интервалов увеличится в раза. Это, конечно, приводит к еще более неопределенным выводам относительно истинных значений параметров,.

2.7. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В только что рассмотренном примере мы построили — доверительный интервал для параметра в виде т. е.

Существенно, что при любом истинном значении параметра вероятность накрытия этого значения построенным доверительным интервалом равна.



Рассмотрим значение; построенный интервал его не накрывает. Однако если действительно равняется 1, то вероятность такого ненакрытия равна. Таким образом, факт ненакрытия значения построенным интервалом представляет (в случае, когда) осуществление довольно редкого события, имеющего малую вероятность, и это дает нам основания сомневаться в том, что в действительности.

То же самое относится и к любому другому фиксированному значению, не принадлежащему указанному доверительному интервалу: предположение о том, что в действительности, представляется маловероятным.

Подобного рода предположения называют в этом контексте статистическими гипотезами (statistical hypothesis). О проверяемой гипотезе говорят как об исходной — «нулевой» (maintained, null) гипотезе и обозначают такую гипотезу символом, так что в последнем случае мы имеем дело с гипотезой В соответствии со сказанным выше, такую гипотезу естественно отвергать (отклонять), если значение не принадлежит доверительному интервалу для, т. е.

интервалу Вспоминая, как этот интервал строился, мы замечаем, что не принадлежит этому интервалу тогда и только тогда, когда т. е. когда наблюдаемое значение отношения «слишком велико» по абсолютной величине. Последнее означает «слишком большое» отклонение оценки от гипотетического значения параметра, в сравнении с оценкой значения корня из дисперсии оценки этого параметра.

Итак, если мы отвергаем гипотезу. Однако выполнение этого неравенства для некоторого значения вовсе не означает, что гипотеза обязательно не верна. Если в действительности, то все же имеется вероятность того, что это неравенство будет выполнено.

В последнем случае, в соответствии с выбранным правилом, мы все же отвергнем гипотезу, допустив при этом «ошибку 1го рода». Такая ошибка происходит в среднем в случаях из ста.

Если бы мы выбрали произвольный доверительный уровень, то тогда мы отвергали бы гипотезу при выполнении неравенства и ошибка 1го рода происходила в среднем в случаев из. Точнее, вероятность ошибки 1го рода была бы равна :

отвергается верна=.

Само правило решения вопроса об отклонении или неотклонении статистической гипотезы называется статистическим критерием проверки гипотезы Н0, а выбранное при формулировании этого правила значение a называется уровнем значимости критерия.

Выбор большего или меньшего значения a определяется степенью значимости для исследователя исходной гипотезы. Скажем, выбор между значениями и в пользу означает, что исследователь заранее настроен в пользу гипотезы и ему требуются очень весомые аргументы, свидетельствующие против этой гипотезы, чтобы все же отказаться от нее. Выбор же в пользу уровня значимости означает, что исследователь не столь сильно отстаивает гипотезу и готов отказаться от нее и при менее убедительной аргументации против этой гипотезы.

Всякий статистический критерий основывается на использовании той или иной статистики (статистики критерия), т. е. случайной величины, значения которой могут быть вычислены (по крайней мере, теоретически) на основании имеющихся статистических данных и распределение которой известно (хотя бы приближенно).

В нашем примере критерий проверки гипотезы основывался на использовании tстатистики, значение которой можно вычислить по данным наблюдений, поскольку — известное (заданное) число, а и вычисляются на основании данных наблюдений.

Каждому статистическому критерию соответствует критическое множество R значений статистики критерия, при которых гипотеза отвергается в соответствии с принятым правилом. В нашем примере таковым является множество значений указанной статистики, превышающих по абсолютной величине значение Итак, статистический критерий определяется заданием статистической гипотезы Н 0;

уровня значимости a;

статистики критерия;

критического множества R.

Можно подумать, что пункты b) и d) дублируют друг друга, поскольку в нашем примере критическое множество однозначно определяется по заданному уровню значимости. Однако, как мы увидим в дальнейшем, одному и тому же уровню значимости можно сопоставить различные критические множества, что дает возможность выбирать множество наиболее рациональным образом, в зависимости от выбора гипотезы (выбор наиболее мощного критерия).





Компьютерные пакеты программ статистического анализа данных первоочередное внимание уделяют проверке гипотезы в рамках нормальной модели множественной линейной регрессии с ~ i. i. d.. Эта гипотеза соответствует предположению исследователя о том, что я объясняющая переменная не имеет существенного значения с точки зрения объяснения изменчивости значений объясняемой переменной, так что она может быть исключена из модели.

Для соответствующего критерия ;

уровень значимости по умолчанию обычно выбирается равным ;

статистика критерия имеет вид если гипотеза верна, то эта статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, ~, в связи с чем ее обычно называют tстатистикой (tstatistic) или tотношением (tratio);

d) критическое множество имеет вид При этом, в распечатках результатов регрессионного анализа (т. е.

статистического анализа модели линейной регрессии) сообщаются:

значение оценки параметра в графе Коэффициенты (Coefficient);

значение знаменателя tстатистики в графе Стандартная ошибка (Std. Error);

значение отношения в графе tстатистика (tstatistic).

Кроме того, сообщается также вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы, примет значение, не меньшее по абсолютной величине, чем наблюденное значение — в графе Рзначение (Рvalue или Probability).

В отношении полученного при анализе Рзначения возможны следующие варианты.

Если указываемое Pзначение меньше выбранного уровня значимости, то это равносильно тому, что значение tстатистики попало в область отвержения гипотезы, т. е. В этом случае гипотеза отвергается.

Если указываемое Pзначение больше выбранного уровня значимости, то это равносильно тому, что значение tстатистики не попало в область отвержения гипотезы, т. е. В этом случае гипотеза не отвергается.

Если (в пределах округления) указываемое Pзначение равно выбранному уровню значимости, то в отношении гипотезы можно принять любое из двух возможных решений.

В случае, когда гипотеза отвергается (вариант 1), говорят, что параметр статистически значим (statistically significant); это соответствует признанию того, что наличие jй объясняющей переменной в правой части модели существенно для объяснения наблюдаемой изменчивости объясняемой переменной.

Напротив, в случае, когда гипотеза не отвергается (вариант 2), говорят, что параметр статистически незначим (statistically unsignificant). В этом случае в рамках используемого статистического критерия мы не получаем убедительных аргументов против предположения о том, что. Это соответствует признанию того, что наличие jй объясняющей переменной в правой части модели не существенно для объяснения наблюдаемой изменчивости объясняемой переменной, а следовательно, можно обойтись и без включения этой переменной в модель регрессии.

Впрочем, выводы о статистической значимости (или незначимости) того или иного параметра модели зависят от выбранного уровня значимости : решение в пользу статистической значимости параметра может измениться на противоположное при уменьшении, а решение в пользу статистической незначимости параметра может измениться на противоположное при уменьшении значения.

Пример. В уже рассматривавшемся выше примере с уровнями безработицы в США получаем в распечатке и следующую таблицу:

Переменная Коэфт Ст. ошибка tстатист.

Pзнач.

2. 0. 5. 0. ZVET 0. 0. 2. 0. Соответственно, при выборе уровня значимости коэффициент при переменной признается статистически незначимым (значение больше уровня значимости).

Однако, если выбрать, то значение меньше уровня значимости, и коэффициент при переменной придется признать статистически значимым.

Пример. При исследовании зависимости спроса на куриные яйца от цены (данные были приведены ранее) получаем в распечатке и следующую таблицу:

Переменная Коэфт Ст. ошибка tстатист.

Pзнач.

21. 2. 9. 0. CENA –18. 5. 3. 0. Здесь коэффициент при объясняющей переменной статистически значим даже при выборе, так что цена является существенной объясняющей переменной.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.