WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |

“ПАРАДОКСЫ” И “ПСЕВДОПАРАДОКСЫ”

(Противоречия теории множеств и проблема определения числа)

С.Н. Мареев [Мареев Сергей Николаевич – доктор философских наук, профессор, научный консультант (Современный гуманитарный университет, г. Москва).]

Речь идет прежде всего о так называемом парадоксе класса нормальных классов или множества нормальных множеств, известном также под названием “парадокса Рассела”. Формулируется он следующим образом. “Нормальный класс” определяется как класс, который не является элементом самого себя. После этого определяется понятие класса всех нормальных классов. Будет ли такой класс нормальным? Если он нормальный, то он должен входить в класс нормальных классов, и тогда он не будет нормальным. А если он не нормальный, то он не входит в класс всех нормальных классов, т.е. не является членом самого себя и, по определению, должен быть нормальным.

Аналогичный парадокс возникает, когда мы говорим о деревенском парикмахере, который бреет только тех мужчин деревни, которые не бреются сами. Кто же бреет самого парикмахера? (Предполагается, что в деревне есть только один парикмахер.) Если он бреет сам себя, то он нарушает условие, потому что он бреется сам, а он не должен брить мужчин, которые бреются сами. А если он не бреет себя, то, значит, он бреет не всех мужчин. Условие опятьтаки оказывается нарушенным.

В последнем случае имеет место некоторое искусственное условие, т.е. условие, не вытекающее из природы самих вещей: необходимость для мужчин бриться не влечет за собой такого условия, чтобы парикмахер брил только тех мужчин, которые не бреются сами. Подобного рода рассуждения, пишет Х. Карри, “названы псевдопарадоксами, потому что здесь нет настоящего противоречия” [1, c. 22]. Таким образом, наряду с “ненастоящими” есть “настоящие” противоречия. “В первом случае, – продолжает Карри, – парикмахер не мог подчиняться закону, потому что он был нелепым, вроде того закона, который, как говорят, был издан в одном американском штате. Согласно этому закону, если два поезда подходят к пересечению дорог под прямым углом друг к другу, то каждый из них должен ждать, пока не пройдет другой... Но такого рода объяснения неприменимы к парадоксу Рассела. В терминах логики, известной в ХIХ в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка” [1, c. 22].

Увидел (или подумал, что увидел), в чем здесь состоит “ошибка”, в свое время А.А. Зиновьев: «Выражение “нормальный класс” (или “нормальное множество”) определяют так: класс называется нормальным, если и только если он не является элементом самого себя. Это определение непригодно потому, что в нем явно не выражено то, что класс есть всегда класс чегото» [2].

Иначе говоря, “ошибка” заключается в абстракции. Есть класс людей, класс животных и т.д., но нет класса “вообще”, класса неких абстрактных “элементов”. Но если это “ошибка”, то такую “ошибку” наше мышление совершает на каждом шагу. Каждое слово, если это не имя собственное – “человек”, “животное”, “машина” и т.д. – неизбежно обобщает, а потому и происходит неизбежное абстрагирование от массы индивидуальных признаков отдельных чувственно наглядных предметов. Наше мышление совершает неизбежное “грехопадение”, но только такой ценой оно постигает существенное. Поэтому запретить человеку абстрагировать – это все равно, что запретить ему думать. Но в каких пределах возможна и допустима абстракция? Такая постановка вопроса, думается, имеет смысл. Еще Кант обнаружил, что одно дело абстракция в пределах опыта и совсем другое – за пределами всякого возможного опыта. Последний “грех”, по его мнению, совершает метафизическое мышление. А потому оно неизбежно запутывается в “антиномиях”. Во всяком случае следует сразу же обратить внимание на то, что “нормальный класс” и “класс всех нормальных классов” – это абстракции разного уровня.

Рассмотрим еще раз повнимательнее формулировку парадокса Рассела в том виде, в каком он приведен Карри. “Наша интуиция, – пишет Карри, – позволяет нам рассматривать классы объектов в свою очередь как некоторые объекты. Мы можем, например, говорить о классе всех стульев в этой комнате, классе всех людей, всех домов, натуральных чисел. Подобным же образом можно рассматривать классы классов и даже такие понятия, как класс всех классов или класс всех понятий. Все такие классы относятся к одному из двух сортов, которые мы назовем собственными и несобственными классами. Собственные классы – это такие классы, как класс людей, домов, чисел, которые не являются членами самих себя; несобственные классы – это такие классы, которые, как класс всех классов или класс всех понятий, являются членами самих себя. Пусть теперь R (расселовский класс) – класс всех собственных классов. Если R – собственный класс, то, так как R есть класс всех таких классов, R является членом R и, следовательно, R не является собственным классом. С другой стороны, если R не есть собственный класс, то R – не член R и потому R – собственный класс. Любое предположение ведет к противоречию” [1, c. 21].

Сразу бросается в глаза существенная разница между собственным и несобственным классами с точки зрения их, так сказать, онтологического статуса. Нормальный класс всегда представим, поэтому можно приводить сколько угодно примеров такого рода классов: класс всех домов в этом городе, класс всех стульев в этой комнате, класс всех людей в этой стране и т.д. Что же касается несобственного класса, то, строго говоря, единственным примером такого класса будет класс всех классов, потому что вопрос о том, является ли класс всех понятий понятием, остается вопросом до тех пор, пока мы не определим, что такое понятие. Если класс всех классов есть единственный несобственный класс, то при ближайшем рассмотрении оказывается, что парадокс возникает раньше, чем он сформулирован: если класс всех классов не включает себя, то он не есть класс всех классов, если же он включает и себя, то он уже иной класс. Если раньше он содержал n элементов, то теперь должен содержать n+1 элементов. Но вновь получившийся класс не будет содержать в качестве элемента самого себя, если не добавить к n+1 элементам еще один элемент – само n+1. Элементов становится уже n+2, и так до бесконечности. Несобственный класс превращается в своеобразный perpetuum mobile, процесс увеличения самого себя до бесконечности, если мы не прекратим его внешним вмешательством. Но тогда мы тем самым уничтожим само представление о несобственном классе. Допуская представление о несобственном классе, т.е. совершая определенного рода абстракцию, мы уже выпускаем джина из бутылки.

Итак, несобственный класс – вещь в себе парадоксальная, как парадоксально бесконечное множество, поскольку оно содержит в себе самое себя в качестве подмножества. И если представление о бесконечном множестве отражает реальное свойство самой действительности, то “парадокс” теории множеств отражает реальное противоречие самой действительности, является “настоящим” противоречием. Если же нет, то “парадокс” несобственного класса является всего лишь “псевдопарадоксом”. Если мы допускаем первое, то надо показать, что представление о несобственном классе возникает естественным образом, а стало быть, коренится в природе самих вещей. Иными словами, это означает, что бесконечность существует точно таким же естественным образом, как и конечные величины. Если же это не так и парадокс Рассела – это результат некоторых искусственных условий, то почему это должно иметь какието серьезные последствия для судеб математики.

Таково действительное противоречие теории Рассела, которое вынуждает его и весь позитивизм в целом истолковывать всю математику чисто субъективистски. Рассел заявляет, в частности, что “нет никакого эмпирического довода, чтобы верить, что число единичных вещей во Вселенной бесконечно”, и что нет также никакого эмпирического довода, “чтобы верить, что это число конечно” [3]. С точки зрения эмпиризма здесь действительно имеет место неразрешимая антиномия, которая, собственно говоря, была сформулирована уже Кантом и которую Рассел только повторяет. Конечное и бесконечное, по Расселу, – это только две логические возможности, которые исключают друг друга. Поэтому он и считает возможным принять “способ выражения Лейбница, а именно, что некоторые из возможных миров конечны, иные же бесконечны, и что у нас нет способов, чтобы установить, к которому из этих двух родов принадлежит наш действительный мир” [3].





Противоречие возникает не в словесной формулировке представления о несобственном классе, а в реальном процессе счета и в реальном историческом становлении орудия счета, натурального ряда чисел. Известно, что первоначально счет производился фактическим установлением взаимно однозначного соответствия между одним какимнибудь реальным множеством, например множеством пальцев на одной руке, и другим реальным множеством. Когда пальцев одной руки не хватает, то за эталон берется множество пальцев обеих рук, затем ног и т.д. Число возникает как необходимый результат исторического развития счета и прежде всего потому, что с его развитием, с потребностью считать все большие и большие реальные множества, все время приходилось выходить за рамки того или иного множестваэталона. Натуральный ряд чисел является результатом этого постоянного выхождения за рамки любого конечного реального множества, он становится универсальным орудием счета только потому, что по крайней мере потенциально он бесконечен. И эта бесконечность является необходимым условием определения численности любого конечного, сколь угодно большого реального множества.

С натуральным рядом чисел происходит то же самое, что происходит с деньгами как универсальной мерой стоимости: деньги не могут стать универсальной мерой стоимости до тех пор, пока еще не становятся особым товаром. Особенность золота заключается в том, что оно однородно и делимо без того, чтобы уничтожалась его потребительная стоимость. Натуральный ряд тоже “однороден”, т.е. во всех своих частях одинаков и дискретен. Но здесь аналогия кончается: к числу особенностей натурального ряда, кроме того, что он “однороден” и дискретен, прибавляется еще и такая особенность, как бесконечность. Такой особенностью, как известно, деньги не обладают, а если обладают, то только благодаря числу – числу, проставленному на монетах или банкнотах. Реальное же количество реальных денег – золота – в каждом государстве всегда конечно.

Аналогию между числом и стоимостью специально развивала в свое время известный советский математик С.А. Яновская, которая подчеркивала при этом, что “здесь не простая аналогия, а общность метода” [4]. Этот метод заключается в том, чтобы проследить реальный исторический генезис того или иного понятия. Если подойти с точки зрения данного метода к формированию понятия числа, то окажется, что число явилось отнюдь не в качестве результата абстрагирующей деятельности мыслящей головы. Абстракция числа производится самим историческим становлением практики освоения количественной стороны мира, прежде всего самой деятельностью счета. Поэтому число, как результат такого рода процесса, несет на себе печать этого процесса, оно в виде натурального ряда имеет двойную детерминацию: со стороны реальных множеств, которые всегда конечны, и со стороны деятельности счета, которая за­ставляет постоянно выходить за рамки любого конечного реального множества. Этим самым сразу развеиваются, с одной стороны, идеалистические иллюзии, основанные на том, что числа обладают такими свойствами, которые не заключены непосредственно в реальных множествах, и предшествуют им, как это было у пифагорейцев; с другой стороны, – наивнонатуралистические представления, согласно которым число – это всего лишь аналогзаместитель реального множества вещей.

Деятельный момент числа, который характерен для кантианства, как раз и отбрасывается позитивизмом. А потому Рассел и вынужден апеллировать не к Канту, а к “способу выражения Лейбница”. Психологическим коррелятом понятия числа, считает кантианец Кассирер, является “деятельность различения и связывания” [5, c. 43]. Недостатком кантианского понимания деятельности является то, что деятельность понимается только как духовнопсихологическая, а не как предметная. И это не позволяет понять историческое происхождение числа, которое предполагает с самого начала деятельность по освоению количественной стороны действительности как предметнопрактическую деятельность.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.